Kruunaa ja klaavaa

• JUHANI ORRENMAA, SEINÄJOKI -

Muutama vuosi sitten netissä surfaillessani ajauduin muistaakseni amerikkalaisen yliopiston matematiikan lehtorin sivuille. Hän kertoi, miten saa todennäköisyyslaskennan luentosarjan alussa oppilaittensa mielenkiinnon heräämään.

Tein asiasta oman, lukioilaisille soveltuvan version, jota ehdin pari kertaa menestyksellä käyttää ennen kuin pieni henkilötunnukseni siirsi minut harrastelijoiden joukkoon. Näin asia eteni: Ensimmäisellä oppitunnilla johdattelin oppilaat asiaan sisään pienellä historiallisella katsauksella, jotain myös laskettiin. Tunnin lopulla annoin oppilaille kotitehtäväksi heittää kolikkoa 100 kertaa: 10 kappaletta 10 heiton sarjoja. Kerroin tuloksia tarvittavan materiaalina, kun vertaillaan empiirisiä ja laskennallisia tuloksia.

Seuraavalla tunnilla jaoin monistetun kaavakkeen, johon jokaisen piti tunnin lopulla kirjoittaa saamansa tulossarjat ja oma nimensä. Keräsin paperit ”tarkastelua” varten.

Kolmannen tunnin lopussa otin esiin noin kymmenen kaavaketta ja ilmoitin, että näiden kaavakkeiden täyttäjät eivät ole heittäneet kolikkoa, vaan keksineet tulokset ”päästään”.

Vetosin oppilaisiin, että bluffareiden on syytä myöntää pieni vilppinsä. Jos he kieltävät sen, tulee vilpistä vähintäänkin keskisuuri!

Kun asia tarkastettiin, niin mainituista noin kymmenestä paperista yhdeksän kuului oppilaille, jotka myönsivät keksineensä tulossarjat, vain yksi kielsi. Lisäksi yksi oppilas ilmoitti bluffanneensa, mutta hänen paperinsa ei ollut epäiltyjen joukossa.

Miten ihmeessä moinen osumatarkkuus? Selitys on yksinkertainen. Tuskin kukaan asiaan perehtymätön kirjoittaa keksityyn sarjaan samaa tulosta peräkkäin kolmea enempää, joku ehkä neljä, viittä tuskin kukaan.

Mutta katsotaanpa asiaan liittyviä todennäköisyyksiä. Voidaan laskea (ja myöhemmin laskut voidaan tehdä oppilaiden kanssa), että todennäköisyys sille, että kymmenen sarjassa on ainakin viisi peräkkäistä klaavaa tai kruunaa on 111 / 512 = 0,217 = 21,7 %.

Tämä merkitsee sitä, että kymmenen sarjassa on keskimäärin 111 / 512 x 10 = 2,17 sellaista riviä, joissa esiintyy ainakin viisi samaa merkkiä peräkkäin. Ja edelleen: todennäköisyys sille, että kymmenessä sarjassa on ainakin yksi vähintään 10 viiden sarja, on: p = 1 - ((512 - 111) / 512) 0,913.

Summa summarum: oppilas, jonka sarjoissa ei ole yhtään vähintään viittä saman merkin jonoa, on mitä suurimmalla todennäköisyydellä säveltänyt sarjat.

Kun simuloin viisi kappaletta kymmenen kappaleen esimerkkisarjaoja TI-85:llä komennolla int (rand + 0,5), löytyi vähintään viiden kruunan tai klaavan jonoja eri ryhmissä 1+4+1+1+4 = 11, eli kymmenen ryhmää kohden keskimäärin 11 / 5 = 2,2.

Binomitodennäköisyyden kaavan avulla on helppo laskea, mikä on todennäköisyys sille, että kymmenen ryhmässä esiintyy 0,1, ... 10 sellaista sarjaa, joissa on vähintään viisi kruunaa tai klaavaa peräkkäin: P(0) = 0,087 P(1) = 0,240 P(2) = 0,299 P(3) = 0,221 P(4) = 0,107 P(5) = 0,036 P(6) = 0,008 P(7) = 0,001 P(8) = 0,0001 P(9) = 0,000008 P(10) = 0,0000002 Todennäköisyyksien summa P(0) + P(1) + ... + P(10) = 1, ja suotuisan tuloksen antavien sarjojen odotusarvo P(0) x 0 + P(1) x 1 + P (2) x 2 + ... + P(10) x 10, mikä antaa aikaisemmin saadun keskiarvon 2,17.